Hard +2.3 This is a challenging Further Maths question requiring sophisticated use of complex numbers and binomial theorem. Students must recognize to use De Moivre's theorem with $(e^{i heta} + 1)^{20}$, extract the real part, apply half-angle formulas, and manipulate the result into the required form—requiring substantial insight beyond routine application of techniques.
Question 10:
10 | 20 (cid:167)20(cid:183) 20 (cid:167)20(cid:183)
Let C(cid:32)(cid:166) (cid:168) (cid:184)cosr(cid:84) and S (cid:32)(cid:166) (cid:168) (cid:184)sinr(cid:84)
r(cid:32)0(cid:169) r (cid:185) r(cid:32)1(cid:169) r (cid:185)
C(cid:14)iS (cid:32)
(cid:167)20(cid:183)
1(cid:14)20(cos(cid:84)(cid:14)isin(cid:84))(cid:14)(cid:168) (cid:184)(cos2(cid:84)(cid:14)isin2(cid:84))(cid:14)
(cid:169) 2 (cid:185)
...(cid:14)(cos20(cid:84)(cid:14)isin20(cid:84))
(cid:167)20(cid:183)
(cid:32)1(cid:14)20z(cid:14)(cid:168) (cid:184)z2 (cid:14)...(cid:14)z20
(cid:169) 2 (cid:185)
where z(cid:32)(cid:11)cos(cid:84)(cid:14)isin(cid:84)(cid:12)
(cid:32)(1(cid:14)z)20
20
(cid:167) (cid:84) (cid:84) (cid:84)(cid:183)
1(cid:14)2cos2 (cid:16)1(cid:14)i2sin cos
(cid:168) (cid:184)
(cid:169) 2 2 2(cid:185)
20 20
(cid:167) (cid:84)(cid:183) (cid:167) (cid:84) (cid:84)(cid:183)
2cos cos (cid:14)isin
(cid:168) (cid:184) (cid:168) (cid:184)
(cid:169) 2(cid:185) (cid:169) 2 2(cid:185) p
(cid:11)cos10(cid:84)(cid:14)isin10(cid:84)(cid:12)
S
Re: C(cid:32)220cos20(cid:11)1(cid:84)(cid:12)cos10(cid:84)
2 | M1
M1
A1
A1
cB1
e
M1
M1
E1
[8] | 2.1
3.1a
2.2a
m
1.1
i
3.1a
3.1a
2.2a
3.2a | n
e
by de Moivre’s theorem
by de Moivre’s theorem
AG, must see the mention of
taking the real part only.
Let $C = \sum_{r=0}^{20} \binom{20}{r} \cos r\theta$. Show that $C = 2^{20} \cos^{20}\left(\frac{1}{2}\theta\right) \cos 10\theta$. [8]
\hfill \mbox{\textit{OCR Further Pure Core 2 Q10 [8]}}